Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴相交于D．该抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与△ADP全等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；
（3）将∠CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴相交于点N，连接PM、DN，若PM=2DN，求点N的坐标（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知抛物线经过的三点坐标，直接利用待定系数法求解即可．
（2）由于点Q的位置可能有四处，所以利用几何法求解较为复杂，所以可考虑直接用SSS判定两三角形全等的方法来求解．那么，首先要证明CD=DP，设出点Q的坐标后，表示出QC、QD的长，然后由另两组对应边相等列方程来确定点Q的坐标．
（3）根据B、D的坐标，容易判断出△CDE是等边三角形，然后通过证△CEM、△DEN全等来得出CM=DN，首先设出点M的坐标，表示出PM、CM的长，由PM=2DN=2CM列方程确定点M的坐标，进一步得到CM的长后，即可得出DN的长，由此求得点N的坐标．
解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+）（x-3），代入点C（0，3）后，得：
a（0+）（0-3）=3，解得 a=-
∴抛物线的解析式：y=-（x+）（x-3）=-x²+x+3．

（2）设直线BC的解析式：y=kx+b，依题意，有：
，
解得 ．
故直线BC：y=-x+3．
由抛物线的解析式知：P（，4），将点P代入直线BC中，得：D（，2）．
设点Q（x，y），则有：
QC²=（x-0）²+（y-3）²=x²+y²-6y+9、QD²=（x-）²+（y-2）²=x²+y²-2x-4y+7；
而：PA²=（--）²+（0-4）²=28、AD²=（--）²+（0-2）²=16、CD=PD=2；
△QCD和△APD中，CD=PD，若两个三角形全等，则：
①QC=AP、QD=AD时，
②QC=AD、QD=AP时，
解①、②的方程组，得：、、、；
∴点Q的坐标为（3，4）、（，-2）、（-2，1）或（0，7）．

（3）根据题意作图如右图；
由D（，2）、B（3，0）知：DF=2，BF=2；
∴∠BDF=∠ADF=∠CDE=∠DCE=60°，即△CED是等边三角形；
在△CEM和△DEN中，
∴△CEM≌△DEN，则 CM=DN，PM=2CM=2DN；
设点M（x，-x+3），则有：
PM²=（-x）²+（4+x-3）²=x²-x+4、CM²=x²+x²=x²；
已知：PM²=4CM²，则有：
x²-x+4=4×x²，解得 x=；
∴CM=DN=×x=×=；
则：FN=DF-DN=2-=，
∴点N（，）．
点评：该题的难度较大，涉及到：函数解析式的确定、等边三角形的判定和性质、图形的旋转以及全等三角形的应用等重点知识．在解题时，一定要注意从图中找出合适的解题思路；能否将琐碎的知识运用到同一题目中进行解答，也是对基础知识掌握情况的重点考查．