题目内容
命题（*）：设a，b，c是非负实数，如果a4+b4+c4≤2（a2b2+b2c2+c2a2），则a2+b2+c2≤2（ab+bc+ca）
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．
（1）证明命题（*）是正确的；
（2）试写出命题（*）的逆命题，并判定你写出的逆命题是否是真命题，写出理由．
分析：（1）不妨设a、b、c中a为最大，运用比差法进行证明即可，（2）首先写出逆命题，然后利用代值法进行判断．
解答：证明：（1）不妨设a、b、c中a为最大．
因为2（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）=（2ab）2-（a2+b2-c2）2≥0，
所以2ab≥a2+b2-c2，
a2+b2+c2=（a2+b2-c2）+2c2≤2ab+2c2≤2（ab+bc+ca）；
（2）（*）的逆命题：设a、b、c是非负实数．如果a2+b2+c2≤2（ab+bc+ca），
则a4+b4+c4≤2（a2b2+b2c2+c2a2），
这逆命题不真，例如a=4，b=c=1时，
a2+b2+c2=2（ab+bc+ca）=18，
而a4+b4+c4=258＞2（a2b2+b2c2+c2a2）=66．
因为2（a2b2+b2c2+c2a2）-（a4+b4+c4）=（2ab）2-（a2+b2-c2）2≥0，
所以2ab≥a2+b2-c2，
a2+b2+c2=（a2+b2-c2）+2c2≤2ab+2c2≤2（ab+bc+ca）；
（2）（*）的逆命题：设a、b、c是非负实数．如果a2+b2+c2≤2（ab+bc+ca），
则a4+b4+c4≤2（a2b2+b2c2+c2a2），
这逆命题不真，例如a=4，b=c=1时，
a2+b2+c2=2（ab+bc+ca）=18，
而a4+b4+c4=258＞2（a2b2+b2c2+c2a2）=66．
点评：本题主要考查分式的等式证明的知识点，本题难度较大，运用比差法和特殊值法师解答本题的关键．
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