Question

分解因式：

(1)x4+2x2-3； (2)x4+2x2+9； (3)(1-a2)(1-b2)-4ab； (4)x2-xy+2x+y-3； (5)a2+(a+1)2+a2(a+1)2； (6)(m+n)3+2mn(1-m-n)-1； (7)(a2+a+1)(a2+a+2)-12； (8)12x4-56x3+89x2-56x+12.

．

Answer 1

分析：（1）利用十字相乘法，先进行第一步分解，然后套用公式a²-b²=（a+b）（a-b），再进一步分解因式．
（2）利用配方进行分解因式即可．
（3）将-4ab分成-2ab和-2ab，然后凑成两个完全平方式，进而套用因式分解的完全平方公式进行进一步分解即可．
（4）先分组，分别进行因式分解，然后再提取公因式即可．
（5）先按降幂排列，然后变形，最后提取公因式．
（6）先去括号，合并同类项，然后分组，提取公因式．
（7）先变形，然后把（a²+a）看作一个整体，利用十字相乘法进行因式分解即可．
（8）利用反数法进行分解即可．

解答：解：（1）十字相乘法：原式=（x²+3）（x+1）（x-1）
（2）配方法：原式=（x²-2x+3）（x²+2x+3）
（3）配方法：
原式=1-a²-b²+a²b²-4ab

=(1+a2b2-2ab)-(a2+b2+2ab) =(1-ab)2-(a+b)2 =(1-ab+a+b)(1-ab-a-b)

（4）原式=x²+2x-3-xy+y

=(x+3)(x-1)-y(x-1) =(x-1)(x-y+3)

（5）法1：
原式=a²+a²+2a+1+a⁴+2a³+a²

=a4+2a3+3a2+2a+1 =a4+a3+a2+a3+a2+a+a2+a+1 =a2(a2+a+1)+a(a2+a+1)+(a2+a+1) =(a2+a+1)2

法2：
原式=a²+a²+2a+1+（a²+a）²

=1+2a(a2+a)+(a2+a)2 =(a2+a+1)2

（6）法1：
原式=（m³+3m²n+2mn²+n³）+2mn-2m²n-2mn²-1

=m3+m2n+mn2+n3+2mn-1 =m3+m2n-m2+n3+n2m-n2+m2+nm-m-nm+n2-n+m+n-1 =m2(m+n-1)+n2(n+m-1)+m(m+n-1)+n(m+n-1)+(m+n-1) =(m+n-1)(m2+n2+m+n+1)

法2：
原式=（m+n）³-1³+2mn（1-m-n）

=(m+n-1)[(m+n)2+(m+n)+1]-2mn(m+n-1) =(m+n-1)(m2+n2+m+n+1)

（7）原式=（a²+a）²+3（a²+a）+2-12

=(a2+a+5)(a2+a-2) =(a2+a+5)(a+2)(a-1)

（8）反数法：
原式=12（x⁴+1）+89x²-56（x³+x）

=12x2(x2+ 1 x2 )+892-56x2(x+ 1 x ) =x2[12(x+ 1 x )2-24+89-56(x+ 1 x )] =x2[12(x+ 1 x )2-56(x+ 1 x )+65] =x2[2(x+ 1 x )-5][6(x+ 1 x )-13] =(2x2-5x+2)(6x2-13x+6) =(x-2)(2x-1)(2x-3)(3x-2)

点评：本题考查了多项式的因式分解，因式分解要根据所给多项式的特点，先考虑提取公因式，再对所给多项式进行变形，套用公式，最后看结果是否符合要求．