Question

（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？

（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．

Answer 1

解：（1）成立；

∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，

∴∠1=∠2，∠5=∠4．

∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．

∴∠1=∠3，∠6=∠5．

根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．

∴DE=DF+EF=BD+CE．

故成立．

（2）∵BF分∠ABC，

∴∠DBF=∠FBC．

∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．

∴∠ABF=∠DFB，

∴BD=DF．

∵CF平分∠ACG，

∴∠ACF=∠FCG．

∵DF∥BC，

∴∠DFC=∠FCG．

∴∠ACF=∠DFC，

∴CE=EF．

∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．