题目内容
如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE=考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质
专题：
分析：根据已知条件判断△ABD∽△DCE，利用相似三角形的性质求出CE的长，进而求出AE的长；借助余弦定理求出DE的长，进而利用相似三角形的性质求出AD的长．
解答：解：∵△ABC为正三角形，且边长为9，BD=3，
∴∠B=∠C=60°，DC=9-3=6；
又∵∠ADE=60°，
∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴
=
，
∴CE=
=2；
AE=9-2=7；
∴DE2=DC2+CE2-2DC•CEcos60°
=36+4-2×6×2×
=40-12=28，
∴DE=2
．
∵△ABD∽△DCE，
∴
=
，
∴AD=
=
=3
；
综上所述：AE=7，AD=3
，
故答案为：7，3
．
解：∵△ABC为正三角形，且边长为9，BD=3，∴∠B=∠C=60°，DC=9-3=6；
又∵∠ADE=60°，
∴∠BAD+∠ADB=∠CDE+∠ADB=180°-60°=120°，
∴∠BAD=∠CDE，而∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE，
∴
| AB |
| DC |
| BD |
| CE |
∴CE=
| 3×6 |
| 9 |
AE=9-2=7；
∴DE2=DC2+CE2-2DC•CEcos60°
=36+4-2×6×2×
| 1 |
| 2 |
=40-12=28，
∴DE=2
| 7 |
∵△ABD∽△DCE，
∴
| AB |
| DC |
| AD |
| DE |
∴AD=
| AB•DE |
| DC |
9×2
| ||
| 6 |
| 7 |
综上所述：AE=7，AD=3
| 7 |
故答案为：7，3
| 7 |
点评：该题以三角形为载体，在考查等边三角形的性质的同时，重点考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
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