Question

如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，BC=2cm，求AC和AB的长．（结果保留二次根式）

Answer 1

分析：由已知可得，△ADC和△BDC都是特殊的直角三角形，可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解．

解答：解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=105°，CD⊥AB于D，
∴在△ADC中，∠ADC=90°，∠ACD=60°
∴AC=2CD；
在△BDC中，∠BDC=90°，∠BCD=∠DBC=45°
∴CD=BD
由勾股定理可得，BD²+CD²=4
∴CD=BD=

2

，
∴AC=2

2

cm；
在△ADC中，
AD=AC•sin60°=2

2

•

3

2

=

6

，
∴AB=AD+BD=（

6

+

2

）cm．

点评：此题综合性较强，涉及到特殊的直角三角形边之间的关系、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识点．