Question

（2013•嘉定区一模）如图，弧EF所在的⊙O的半径长为5，正三角形ABC的顶点A、B分别在半径OE、OF上，点C在弧EF上，∠EOF=60°，如果AB⊥OF，那么这个正三角形的边长为

5 21

7

．

Answer 1

分析：过C作CM⊥AB于M，连接OC，设正三角形ABC的边长是x，则MB=

1

2

AB=

1

2

x，由勾股定理求出CM=

3

2

x，根据勾股定理求出OA²=25-x²，在Rt△ABO中，OA=

OB

sin∠AOB

=

2x

3

，得出方程25-x²=

4x2

3

，求出即可．

解答：解：
过C作CM⊥AB于M，连接OC，
设正三角形ABC的边长是x，
则MB=

1

2

AB=

1

2

x，∠BAC=60°，
由勾股定理得：CM=

3

2

x，
∵∠EOF=∠CAB=60°，AB⊥OF，
∴∠OAB=30°，∠OBA=90°，
∴OA²=OC²-AC²=25-x²，
在Rt△ABO中，OA=

AB

sin∠AOB

=

2x

3

，
OA²=

4x2

3

，
25-x²=

4x2

3

，
x=

5 21

7

，
故答案为：

5 21

7

．

点评：本题考查了等边三角形性质，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，解此题的关键是能得出关于x的方程．