Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD于F，交BC于E，
求证：（1）AB=BE；（2）AD=CE；（3）BE-CE=CD．

Answer 1

分析：（1）首先证明△ABF≌△EBF，可直接得到AB=BE；
（2）连接DE，证明△ABD≌△EBD可得AD=DE，再证明DE=CE可得AD=EC；
（3）根据题意可得BE=AB=AC，再根据线段的和差关系，利用等量代换可得结论．

解答：证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∵AE⊥BD于F，
∴∠ABF=∠EFB=90°，
在△ABF和△EBF中，

∠ABF=∠EBF FB=FB ∠AFB=∠EFB

，
∴△ABF≌△EBF（ASA）．
∴AB=BE；

（2）连接DE，
∵在△ABD和△EBD中，

AB=EB ∠ABD=∠EBD DB=DB

，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD=DE，∠DEB=∠BAC=90°，
∴∠DEC=90°，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴∠EDC=45°，
∴DE=CE．
∴AD=EC；

（3）∵EB=AB，AB=AC，
∴BE=AC，
∵AD=EC，
∴BE-CE=AC-AD=CD．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．