Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发．
（1）几秒钟后，P、Q间的距离等于4

2

cm？
（2）几秒种后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等？

Answer 1

分析：（1）设时间为x秒，依题意得BP=xcm，AP=（6-x）cm，BQ=2xcm，在Rt△BPQ中利用勾股定理列方程求解；
（2）设a秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等，依题意得BP=acm，AP=（6-a）cm，BQ=2acm，然后表示出△BQP的面积和四边形CQPA的面积，列出方程，即可解出答案．

解答：解：设x秒后，PQ=4

2

cm，则BQ=2x，BP=6-x，
由题意得：BQ ²+BP ²=PQ ²，
∴(2x)2+(6-x)2=(4

2

)2
整理得：（5x-2）（x-2）=0，
解得：x1=

2

5

，x2=2
∵BC=3cm，
∴x=2不合题意，舍去，
答：

2

5

秒后PQ=4

2

cm；

（2）设a秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等，由题意得：

1

2

×2a×（6-a）=

1

2

×6×3-

1

2

×2a×（6-a），
解得：a=

6±3 2

2

，
∵BC=3cm，
∴a=

6+3 2

2

不合题意，舍去，
∴a=

6-3 2

2

．
答：

6-3 2

2

秒钟后，△BPQ的面积与四边形CQPA的面积相等．

点评：此题主要考查了一元二次方程的应用．以及勾股定理的应用．关键是根据题意表示出BP、BQ的长．