Question

【题目】小明在学习过程中遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，CA=CB,E是CD上一点，且ED=EB, ∠DEB=∠ACB,连接AD,探究∠ADC与∠DCB之间的数量关系.小明发现，∠ACD=∠CBE,CA=CB,因此可以通过作∠CAF=∠BCE交CD于点F构造全等，经过推理论证解决问题.

（1）按照小明思考问题的方法，解决问题；

（2）如图2，∠ACB=90,CA=CB，D是AB上一点，过点D作DE⊥AB交AC于点E,过点E作EM⊥CD于点M,BN⊥CD于点N,探究EM,BN,CD之间的数量关系.

Answer 1

【答案】（1）∠DCB=2∠ADC，证明详见解析；（2）BN= CD+EM，理由详见解析.

【解析】

（1）∠DCB=2∠ADC，作∠CAF=∠BCE交CD于点F，证明△ACF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AF=CE，CF=BE，∠AFC=∠DCB，再证得AF=DF，根据等腰三角形的性质可得∠ADF=∠DAF，由三角形外角的性质即可证得结论；（2）BN= CD+EM，过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H（如图2），先证得Rt△ACH≌Rt△CBN，根据全等三角形的性质可得CH=BN，再证得Rt△ADH≌Rt△DEM，根据全等三角形的性质可得EM=DH，由BN= CD+DH= CD+EM.即可证得结论.

（1）∠DCB=2∠ADC，理由如下，

如图1，作∠CAF=∠BCE交CD于点F，

∵∠DEB=∠EBC+∠ECB,∠ACB=∠ACF+∠ECB,∠DEB=∠ACB，

∴∠ACF=∠CBE，

在△ACF和△CBE中，

∴△ACF≌△CBE，

∴AF=CE，CF=BE，∠AFC=∠DCB，

∵DE=EB，

∴DE=CF，

∴DF=CE，

∵AF=CE，

∴AF=DF，

∴∠ADF=∠DAF，

∴∠AFC=∠ADF+∠DAF=2∠ADC，

∵∠AFC=∠DCB，

∴∠DCB=2∠ADC.

（2）BN= CD+EM，理由如下：

过点A作AH⊥CD交CD的延长线于点H（如图2），

∵AH⊥CD，BN⊥CD，

∴∠AHC=∠CNB=90°，

∴∠CBN+∠NCB=90°，

∵∠ACH+∠NCB=90°，

∴∠CBN=∠ACH，

在Rt△ACH和Rt△CBN中，

,

∴Rt△ACH≌Rt△CBN，

∴CH=BN，

∵∠ACB=90,CA=CB，

∴∠EDA=45°，

∵DE⊥AB，

∴△AED为等腰直角三角形，

∴AD=DE，

∵AH⊥CD，EM⊥CD，

∴∠AHD=∠DME=90°，

∴∠DAH+∠ADH=90°，

∵∠ADH+∠EDM=90°，

∴∠DAH=∠EDM，

在Rt△ADH和Rt△DEM中，

,

∴Rt△ADH≌Rt△DEM，

∴EM=DH，

∵CH=CD+DH，CH=BN，

∴BN= CD+DH= CD+EM.