题目内容

已知二次函数 $数学公式$ 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若△ABC是等腰三角形，求这个二次函数的解析式．

解：令 $\text{[math]}$ =0，则可得出A（3，0）、B（ $\text{[math]}$ ，0）；
再令x=0，y=4，则可得出C点坐标为（0，4）．
由于△ABC是等腰三角形，则分以下三种情况讨论：
（1）若AC=BC，则 $\text{[math]}$ =-3，m= $\text{[math]}$ ，所求二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+4；
（2）若AB=AC，则|3- $\text{[math]}$ |=|AC|=5，则m= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，所求二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4或y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+4；
（3）若AB=BC，则AC的中垂线与x轴的交点即为B点，求出AC的中垂线为：y= $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，再令y=0，x= $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，所求二次函数的解析式为y= $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4．
分析：由 $\text{[math]}$ 求出A、B、C三点坐标，再分情况讨论：①AC=BC；②AB=AC；③AB=BC分别满足时m的取值，求得二次函数的解析式．
点评：本题考查了数形结合的思想，由等腰三角形的两腰相等确定点的坐标，再求解析式里的未知量，确定函数解析式．