Question

（2013•普陀区模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．则：
（1）当t=

2秒或3秒

时，△DPA为直角三角形；
（2）点D的运动路线总长为

2

5

．

Answer 1

分析：（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标，先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解，
（2）当点P与点O重合时，CO的中点绕点P旋转后的对应点为D₁，点P与点A重合时，CA中点绕P点旋转后的对应点为D₂，求出直线D₁D₂的解析式，进而得出点D在直线D₁D₂上，即D点运动的路线是一条线段，起点是D₁（1，0），终点是D₂（5，2），利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（

t

2

，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，

t

2

）；
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，

由勾股定理得，PD²+AD²=AP²，
即（

t

2

）²+1+（4-t-1）²+（

t

2

）²=（4-t）²，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，

∵∠CPD=90°，
∴∠OPC+∠DPA=90°，
∵∠ADP+∠APD=90°，
∴∠ADP=∠OPC，
又∵∠COP=∠PAD，
∴△COP∽△PAD，
∴

CP

PD

=

CO

PA

，
∴

2

1

=

2

PA

，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
故答案为：2秒或3秒；

（2）当点P与点O重合时，CO的中点绕点P旋转后的对应点为D₁，点P与点A重合时，CA中点绕P点旋转后的对应点为D₂，
，
∵OA=4，OC=2，则D₁（1，0），D₂（5，2），
设直线D₁D₂的解析式为y=kx+b，所以

k+b=0 5k+b=2

，
解得：

k= 1 2 b=- 1 2

，
∴直线D₁D₂的解析式为y=

1

2

x-

1

2

将D点坐标代入到解析式中，y=

1

2

×（t+1）-

1

2

=

1

2

t，
∴点D在直线D₁D₂上，即D点运动的路线是一条线段，起点是D₁（1，0），终点是D₂（5，2），
∴D₁D₂=

42+22

=2

5

，
∴点D运动路线的长度为：2

5

．
故答案为：2

5

．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及几何变换综合题，是动点问题在实际生活中的运用，结合了函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．