Question

已知：如图，抛物线y=-

3

4

x2+3与x轴交于点A，点B，与直线y=-

3

4

x+b相交于点B，点C，直线y=-

3

4

x+b与y轴交于点E．
（1）写出直线BC的解析式．
（2）求△ABC的面积．
（3）若点N在线段BC上以每秒1个单位长度的速度从B向C运动（不与B、C重合），1秒后，点M在射线BA上以每秒2个单位长度的速度从B向A运动．设点N运动时间为t秒，请求出t为何值时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似？

Answer 1

分析：（1）利用抛物线，令y=0，解方程求出点A、B的坐标，然后把点B的坐标代入直线BC的解析式求出b的值，即可得解；
（2）根据点A、B的坐标求出AB的长度，再把抛物线解析式与直线BC的解析式联立求解得到点C的坐标，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）利用直线BC的解析式求出点E的坐标，然后求出OB、OE的长度，再利用勾股定理列式求出BE的长度，用t表示出BM、BN的长度，然后根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似分两种情况列出比例式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则-

3

4

x²+3=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，点A（-2，0），B（2，0），
所以，-

3

4

×2+b=0，
解得b=

3

2

，
所以，直线BC的解析式为y=-

3

4

x+

3

2

；

（2）∵点A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
联立

y=- 3 4 x+ 3 2 y=- 3 4 x2+3

，
解得

x1=-1 y1= 9 4

，

x2=2 y2=0

（为点B坐标，舍去），
所以，点C的坐标为（-1，

9

4

），
所以，△ABC的面积=

1

2

×4×

9

4

=

9

2

；

（3）存在．
令x=0，则y=

3

2

，
所以，点E的坐标为（0，

3

2

），
所以，OE=

3

2

，
在Rt△OBE中，BE=

OB2+OE2

=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
设t秒时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似，则BN=t，BM=2（t-1），
∵∠OBE=∠MBN，
∴

BM

OB

=

BN

BE

或

BM

BE

=

BN

OB

，
即

2(t-1)

2

=

t

5 2

或

2(t-1)

5 2

=

t

2

，
解得t=

5

3

或t=

8

3

，
故存在t=

5

3

或t=

8

3

时，△BOE与以B、M、N为顶点的三角形相似．

点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了求抛物线与x轴的交点坐标，联立连函数解析式求交点坐标，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（3）根据两边对应成比例，夹角相等判定两三角形相似，列出比例式是解题的关键，注意要分两种情况．