Question

求证：不论a为何实数，关于x的方程2x²+3（a-1）x+a²-4a-7=0必有两个不相等的实数根．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：先计算判别式得到△=（a+7）²+16，然后根据非负数的性质得到△＞0，然后根据判别式的意义即可得到结论．

解答： 证明：∵△=[3（a-1）]²-4×2×（a²-4a-7）
=9（a-1）²-8（a²-4a-7）
=9（a²-2a+1）-8a²+32a+56
=9a²-18a+9-8a²+32a+56
=a²+14a+65
=a²+14a+49+16
=（a+7）²+16
∵（a+7）²≥0，
∴（a+7）²+16＞0，
即△＞0．
∴不论a为何实数，所给方程都有两个不相等的实数根．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．