Question

（1998•南京）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过圆心O作BC的垂线交⊙O于点P、Q，交AB于点D，QP、CA的延长线交于点E．求证：OA²=OD•OE．

Answer 1

分析：作直径AM，连接BM，求出∠E=∠DAO，公共角∠DOA=∠DOA，推出△DOA∽△AOE，得出比例式，即可得出答案．

解答：证明：作直径AM，连接BM，
∵∠C和∠M都对弧AB，
∴∠C=∠M，
∵OQ⊥BC，
∴∠EQC=90°，
∴∠C+∠E=90°，
∵AM为⊙O直径，
∴∠ABM=90°，
∴∠M+∠OAD=90°，
∴∠E=∠OAD，
∵∠DOA=∠DOA，
∴△DOA∽△AOE，
∴

OA

OD

=

OE

OA

，
即OA²=OD•OE．

点评：本题考查了圆周角定理和相似三角形的性质和判定的应用，注意：直径所对的圆周角是直角，相似三角形的对应边的比相等．