Question

【题目】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CECA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，CD= ，求DF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵DC2=CECA，

∴ = ，

△CDE∽△CAD，

∴∠CDB=∠DAC，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴BC=CD；

（2）解：方法一：如图，连接OC，

∵BC=CD，

∴∠DAC=∠CAB，

又∵AO=CO，

∴∠CAB=∠ACO，

∴∠DAC=∠ACO，

∴AD∥OC，

∴ = ，

∵PB=OB，CD= ，

∴ =

∴PC=4

又∵PCPD=PBPA

∴4 （4 +2 ）=OB3OB

∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，

在Rt△ACB中，

AC= = =2 ，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠ACB=90°

∴∠FDA+∠BDC=90°

∠CBA+∠CAB=90°

∵∠BDC=∠CAB，

∴∠FDA=∠CBA，

又∵∠AFD=∠ACB=90°，

∴△AFD∽△ACB

∴

在Rt△AFP中，设FD=x，则AF= ，

∴在Rt△APF中有， ，

求得DF= ．

方法二；连接OC，过点O作OG垂直于CD，

易证△PCO∽△PDA，可得 = ，

△PGO∽△PFA，可得 = ，

可得， = ，由方法一中PC=4 代入 ，

即可得出DF=

【解析】（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出结论．（2）连接OC，先证AD∥OC，由平行线分线段成比例性质定理求得PC= ，再由割线定理PCPD=PBPA求得半径为4，根据勾股定理求得AC= ，再证明△AFD∽△ACB，得 ，则可设FD=x，AF= ，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出关于x的方程，求解得DF．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用勾股定理的概念和圆周角定理的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．