Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0．
（1）求证：当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的两根，并且

1

m

+

1

n

=

4

3

．直线l：y=mx+n交x轴于点A，交y轴于点B．坐标原点O关于直线l的对称点O′在反比例函数y=

k

x

的图象上，求反比例函数y=

k

x

的解析式；
（3）在（2）成立的条件下，将直线l绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°），得到直线l′，l′交y轴于点P，过点P作x轴的平行线，与上述反比例函数y=

k

x

的图象交于点Q，当四边形APQO′的面积为9-

3 3

2

时，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0为一元二次方程，所以a≠0；要证明方程总有两个实数根，即证明当a取不等于1的实数时，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0．
（2）先利用求根公式求出两根3，

1

a-1

，再代入

1

m

+

1

n

=

4

3

，可得到a=2，则m=1，n=3，直线l：y=x+3，这样就可得到坐标原点O关于直线l的对称点，代入反比例函数y=

k

x

，即可确定反比例函数y=

k

x

的解析式；
（3）延长PQ，AO′交于点G，设P（0，p），则Q（-

9

p

，p）．四边形APQO'的面积=S_△APG-S_△QGO′=9-

3 3

2

，这样可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，这样就可求出θ．

解答：（1）证明：∵方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，即a≠1．
∴△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，而（3a-4）²≥0，
∴△≥0．
所以当a取不等于1的实数时，此方程总有两个实数根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的两根，
∴m+n=-

2-3a

a-1

，mn=

3

a-1

．
∵

1

m

+

1

n

=

4

3

，

m+n

mn

=

4

3

，
∴-

2-3a

3

=

4

3

，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，则A（-3，0），B（0，3），
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴坐标原点O关于直线l的对称点O′的坐标为（-3，3），把（-3，3）代入反比例函数y=

k

x

，得k=-9，
所以反比例函数的解析式为y=-

9

x

；

（3）解：设点P的坐标为（0，P），延长PQ和AO′交于点G．
∵PQ∥x轴，与反比例函数图象交于点Q，
∴四边形AOPG为矩形．
∴Q的坐标为（-

9

p

，p），
∴G（-3，P），
当0°＜θ＜45°，即p＞3时，
∵GP=3，GQ=3-

9

p

，GO′=p-3，GA=p，
∴S_{四边形APQO′}=S_△APG-S_△QGO′=

1

2

×p×3-

1

2

×（3-

9

p

）×（p-3）=9-

27

2p

，
∴9-

3 3

2

=9-

27

2p

，
∴p=3

3

．（合题意）
∴P（0，3

3

）．则AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°-45°=15°；
当45°≤θ＜90°，则p＜-3，
用同样的方法也可求得p=3

3

，这与p＜-3相矛盾，舍去．
所以旋转角度θ为15°．

点评：题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了反比例函数的性质和一些几何图形的性质．