Question

如图所示，A、B两小村庄相距4km，现计划在这两个小村庄之间修筑一条公路（即线段AB）．经测量，文物保护中心P在A村的北偏东60°和B村的北偏西45°的方向上，已知文物保护区的范围在以P点为圆心，1.1km为半径的圆形区域内，请问计划修筑的这条公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：

3

≈1.732，

2

≈1.414）

Answer 1

分析：过点P作PC⊥AB，C是垂足．AC与BC都可以根据三角函数用PC表示出来．根据AB的长，得到一个关于PC的方程，解出PC的长．从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区．

解答：解：过点PC⊥AB，C是垂足，则∠APC=60°，∠BPC=45°，
则AC=PC•tan60°，BC=PC•tan45°，
∵AC+BC=AB，
∴PC•tan60°+PC•tan45°=4
∴(

3

+1)PC=4
∴PC=2(

3

-1)≈1.46＞1.1．
答：文物保护区的中心与直线AB的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的公路不会穿越保护区．

点评：本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．