Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，AE平分∠CAB分别交CD，CB于F，E，过点F作FH∥BC交AB于H，FG∥AB交BC于G．
（1）求证：CF=CE；
（2）试探究线段CE与BG有何数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）证明如下：
∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高，
∴∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠AFD=∠CFE（对顶角相等），
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE．

（2）CE=BG．证明如下：
∵FH∥BC，FG∥AB，∴BGFH是平行四边形，则BG=FH①，
∵∠AFC=∠FCE+∠CEF，∠AFH=∠AFD+∠DFH，
又∵∠CFE=∠CEF=∠AFD（第一问已证），∠FCE=∠DFH（两直线平行，同位角相等），
∴∠AFC=∠AFH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAH，
在△CFA和△HFA中，
∵，
∴△CFA≌△HFA（AAS），
∴CF=HF，②
由①②和（1）中的结论，可得CE=BG．
分析：（1）要得到CE=CF证明∠CFE=∠CEF即可，据已知条件∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，因为AE平分∠CAB，所以∠AFD=∠AEC；因为∠AFD=∠CFE，即可得∠CFE=∠CEF，即得结论CF=CE．
（2）由条件可知BGFH是平行四边形，则BG=FH，如能证得△CFA≌△HFA，能得到CF=HF，利用（1）中结论，即可得CE=BG．寻找证得△CFA≌△HFA的条件即可得解．
点评：本题主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形，等腰三角形、平行线等的性质，是一道综合性题目，比较复杂．