Question

已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，垂足是N，求证：AB•BM=AM•BN．

Answer 1

证明：在Rt△ACM中，CN⊥AM，
∴∠CMN=∠AMC，∠MNC=∠MCA=90°
∴△MNC∽△MCA，
∴=，
∴MC²=MN•MA，
∵M是BC的中点
∴BM=CM，
∴BM²=MN•MA，
=，
又∵∠BMN=∠AMB，
∴△MBN∽△MAB，
∴=，
∴AB•BM=AM•BN．
分析：根据在△ABC中，∠ACB=90°，M是BC的中点，CN⊥AM，得出△MNC∽△MCA，再证明△MBN∽△MAB，利用对应边成比例即可解题．
点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质的理解与掌握，难度不大，是一道基础题．