Question

如图，已知直线y=

3

4

x+6与双曲线y=

k

x

相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于D、C两点，若AB=5，则k=

-9

．

Answer 1

分析：设A（a，

3

4

a+6），B（c，

3

4

c+6），解由两函数组成的方程组得出3x²+24x-4k=0，求出a+c=-8，ac=-

4

3

k，求出（c-a）²=64+

16

3

k，根据AB=5，由勾股定理得出（c-a）²+[

3

4

c+6-(

3

4

a+6)]2=5²，求出（c-a）²=16，推出方程64+

16

3

k=16，求出k即可．

解答：解：设A（a，

3

4

a+6），B（c，

3

4

c+6），则

y= 3 4 x+6 y= k x

，
解得：

3

4

x+6=

k

x

，即3x²+24x-4k=0，
∵直线y=

3

4

x+6与双曲线y=

k

x

相交于A、B两点，
∴a+c=-8，ac=-

4

3

k，
∴（c-a）²=（c+a）²-4ac=64-4×（-

4

3

k）=64+

16

3

k，
∵AB=5，
∴由勾股定理得：（c-a）²+[

3

4

c+6-(

3

4

a+6)]2=5²，

25

16

（c-a）²=25，
（c-a）²=16，
∴64+

16

3

k=16，
解得：k=-9，
故答案为：-9．

点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根与系数的关系，勾股定理，图象上点的坐标特征等，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，本题综合性比较强，有一定的难度．