Question

已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有

1. A.
   1个
2. B.
   2个
3. C.
   3个
4. D.
   4个

Answer 1

C
分析：可根据证△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形；可根据同弦所对的圆周角相等点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°-∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线．
解答：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，
∴∠BAF=∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中

∴△ABF≌△△ADF（ASA），
∴AB=AD，∴①正确；
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴点A、B、E、C在同一个圆上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠，ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正确；
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°-∠2．
∴∠ACE=180°-∠6-∠2=90°-∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正确
∵∠5=∠2+∠7=90°-∠2，
∴∠7=90°-∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④错误；
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，四点共圆，圆周角定理，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．