Question

【题目】如图，在正方形中，，点是边上的动点（含端点，），连结，以所在直线为对称轴作点的对称点，连结，，，，点，，分别是线段，，的中点，连结，．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若四边形的面积为，求的长；

（3）以其中两边为邻边构造平行四边形，当所构造的平行四边形恰好是菱形时，这时该菱形的面积是________．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或．

【解析】

（1）先利用三角形中位线定理得到，故，可得四边形为平行四边形，再根据对称性得到，即可得到，即邻边相等的平行四边形是菱形，故可求解；

（2）过点作于点，过点作于点，于点，根据菱形的面积可求出，再根据中位线及正方形的性质分别求出PN,PQ,CN,AQ,设，在中，得到方程求出x即可求解；

（3）过点作的垂线，分别交，于点，，分当时、当时、当时分别求出菱形的面积即可．

解：（1）∵，，分别为，，的中点，

∴，

∴．

∴四边形为平行四边形．

∵与关于对称，

∴，

∴，

∴四边形为菱形．

（2）过点作于点，过点作于点，于点，如图．

四边形，

∴．

∵为的中点，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴．

∴，

∴．

设，

∴．在中，，即，

解得，

∴．

（3）菱形的面积为或或．理由如下：

如图，过点作的垂线，分别交，于点，．

当时，点在点处，

此时菱形；

当时，此时是正三角形，

∴，PK=BP=5cm，

菱形；

当时，此时是正三角形，

∴

则CL=CP=5cm，

∴，，

菱形．

综上所述，菱形的面积为或或．