Question

如图，边长为20的正方形ABCD截去一角成为五边形ABCEF，其中DE=10，DF=5，若点P在线段EF上使矩形PMBN有最大面积时，则PE的长度为________．

Answer 1

5
分析：延长NP交ED于G点，设PG=x，先由PG∥DF，得出△EPG∽△EFD，根据相似三角形的性质得出EG=2x，MP=10+2x，进而得到S_矩形PNBM是x的二次函数，再根据二次函数的性质得出矩形PMBN有最大面积时PG的值，从而求出此时PE的长度．
解答：解：如图1，延长NP交ED于G点，
设PG=x，则PN=20-x，
∵PG∥DF，
∴△EPG∽△EFD，
∴PG：DF=EG：ED，
即EG：10=x：5，
∴EG=2x，
∴MP=CG=CE+EG=10+2x，
∴S_矩形PNBM=PM•PN=（10+2x）（20-x）=-2x²+30x+200=-2（x-）²+（0≤x≤5），
∵-2＜0，PG=x≤DF=5，
∴当x=5时，S_矩形PNBM有最大值300．
当PG=5时，如图2，此时P与F重合．
在△PDE中，∠PDE=90°，PD=5，DE=10，
由勾股定理，得PE==5．
故答案为5．
点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数最值的求法，综合性较强，有一定难度．本题根据相似三角形的性质得出EG=2x，进而得到S_矩形PNBM是x的二次函数是解题的关键．