Question

已知x=

n+1 - n

n+1 + n

，y=

n+1 + n

n+1 - n

（n为自然数），问：是否存在自然数n，使代数式19x²+36xy+19y²的值为1 998？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：假设存在，将已知条件化简，求出x+y=2（2n+1），xy=1，代入19x²+36xy+19y²=1998中看是否有符合条件的2n．

解答：解：不存在．
∵x+y=

n+1 - n

n+1 + n

+

n+1 + n

n+1 - n

=(

n+1

-

n

)2+(

n+1

+

n

)²
=n+1-2

n(n+1)

+n+n+1+n+2

n(n+1)

=4n+2．
xy=

n+1 - n

n+1 + n

•

n+1 + n

n+1- n

=1．
假设存在n使代数式19x²+36xy+19y²的值为1998．
即19x²+36xy+19y²=1998．
19x²+19y²=1962，（x²+y²）=

1 962

19

．
（x+y）²=

1 962

19

+

38

19

=

2 000

19

.   x+y=

2 000 19

=

20 95

19

．
由已知条件，得x+y=2（2n+1）．
∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，
∴x+y=

20 95

19

不为整数．
∴不存在这样的自然数n．

点评：此题采用的是反证法：先假设成立，再推翻假设，得出不成立．