Question

在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，△ABC 绕着点C旋转后，点B落在AC边上的点B′，点A落在点A′，那么tan∠AA′B′的值为

 

．

Answer 1

分析：根据题意画出图形，利用旋转不变性得到相等的量，根据勾股定理和正切函数的定义解答．

解答：解：如图，作B′D⊥AA′．
在Rt△ACA′中，
AA′=

42+42

=4

2

，
于是

1

2

AA′•DB′+

1

2

CB′•CA′=

1

2

AC•CA′，
∴4

2

DB′+2×4=4×4，
解得DB′=

2

．
又∵A′B′=AB=

22+42

=2

5

．
∴A′D=

(2 5 )2-( 2 )2

=3

2

．
∴tan∠AA′B′=

2

3 2

=

1

3

．
故答案为

1

3

．

点评：此题考查了旋转的性质和勾股定理，利用面积法求出三角形的高是常用的方法，也是解答此题的关键．