Question

已知抛物线y=ax²-5ax+4a与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于C点，且过点（5，4）．
（1）求a的值；
（2）设顶点为P，求△ACP的面积；
（3）在该抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ=

1

2

S△ABP？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）画出该函数的图象，根据图象回答当x为何值时，y≥0？
（5）写出当2≤x≤6时，该函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把点（5，4）代入y=ax²-5ax+4a解得a；
（2）求出A、P、C点的坐标，过直线PC与x轴的交点M，S_△APC=S_△AMC+S_△AMP；
（3）该抛物线上存在点Q，使S△ABQ=

1

2

S△ABP，确定Q点的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标即可；
（4）由点A、B、C、P四点画出图象，由A、B两点的坐标得出x的取值范围；
（5）因为x=2，x=6在x=

5

2

的右侧，a＞0，y随x的增大而增大，把x=2，x=6代入解析式求得函数的最大值和最小值．

解答：解：（1）把点（5，4）代入y=ax²-5ax+4a
解得a=1；

（2）如图，
由y=x²-5x+4可知，A（1，0），C，0，4），P（

5

2

，-

9

4

），
过PC的直线为y=-

5

2

x+4，与x轴的交点M为（

8

5

，0），
S_△APC=S_△AMC+S_△AMP=

1

2

×（

8

5

-1）×4+

1

2

×（

8

5

-1）×

9

4

=

15

8

；

（3）该抛物线上存在点Q．
因为使S△ABQ=

1

2

S△ABP，所以点Q的纵坐标的绝对值为

9

8

，
当点Q在x轴的上方，由x²-5x+4=

9

8

，
解得x=

10± 3 6

4

，
当点Q在x轴的下方，由x²-5x+4=-

9

8

，
解得x=

10± 3 2

4

，
由此得出Q点的坐标为：
(

10±3 6

4

，

9

8

)，(

10±3 2

4

，-

9

8

)

（4）由图象可以看出当x≤1或x≥4时，y≥0．

（5）因为y=x²-5x+4=（x-

5

2

）²-

9

4

，
所以把x=2，x=6分别代入y=x²-5x+4，
可得当x=2时，y=-2，
当x=6时，y=10，
∴函数的最大值为10，最小值为-

9

4

．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、二次函数的对称性、图形面积的求法、方程与函数的关系、分类讨论的思想．