Question

23、是否存在非负整数a，b，使得|3^a-2^b|=41成立？若存在，求出a，b；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：首先验证a，b没有0，再分两种情况①若3^a-2^b=41；②若2^b-3^a=41进行推导即可求解．

解答：解：直接验证a，b没有0，
①若3^a-2^b=41→-（-1）^b≡-1（mod 3）→b是偶数→b≥2→（-1）^a≡1（mod 4）→a是偶数，
设a=2x，b=2y，（x，y是正整数）
（3^x-2^y）（3^x+2^y）=41→3^x-2^y=1，3^x+2^y=41，易知无正整数解．
②若2^b-3^a=41→b是奇数，2^b=41→b≥6．又-（-1）^a≡1（mod 4）→a是奇数．
显然a不等于1，
于是a≥3，设a=2z+1（z为正整数）
-9^b×3≡41（mod 8）→-3≡41（mod 8），矛盾．
综上所述，方程没有非负整数解．

点评：本题考查了整数问题的综合运用，注意分类思想的运用，有一定的难度．