题目内容

如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由。
解：（1）∵AB是直径，
∴∠BCA=90°，
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°，
∴B、C、E三点共线；
（2）连接BD，AE，ON，延长BD交AE于F，如图，
∵CB=CA，CD=CE，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE，
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，
即BD⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON=BD，OM=AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，
即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN=OM； 
（3）成立，理由如下：
和（2）一样，易证得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，
同理可证BD1⊥AE1，△ON1M1为等腰直角三角形，从而有M1N1=OM1。
练习册系列答案
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如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）证明：B、C、E三点共线；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=
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OM；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=
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OM1是否成立？若是，请证明；若精英家教网不是，说明理由．
如图，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点．点C是圆上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）当m=8，n=6时，求四边形ACBD的面积S；
（2）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（3）你可知道tan∠DAC=
m+nm-n
吗？请你详细说明理由；
（4）如图，当点C运动至弧AD或弧BD上时，（3）中结论是否成立？若成立，请精英家教网说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案）
（2013•尤溪县质检）如图①，在⊙O中AB是直径，D是上半圆中点，E是下半圆中点，点C是⊙O上一点（不与B、E重合）连接AD、BD、AC、BC．设BC长度为n，AC长度为m．
（1）用含m、n的式子表示四边形ACBD的面积S；
（2）证明：tan∠DAC=
m+n
m-n
；
（3）如图②③，当点C运动至
AD
或
BD
上时，②中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接写答案，并选择其中一种证明）
如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上，M是线段BE的中点，N是线段AD的中点．
（1）连接BD，AE，求证：△BCD≌△ACE；
（2）猜想图1中的MN与OM的数量关系（直接写出结果）；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）（备用图2）后，其他条件不变，（2）中的结论仍然成立吗？若是，画出图形并证明；若不是，说明理由．
如图甲，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角△DCE中，∠DCE是直角，点D在线段AC上．
（1）问B、C、E三点在一条直线上吗？为什么？
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，试求
MN
OM
的值；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（O°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图乙），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，则
MN
OM
=
2
2
．

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