Question

如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用菱形的性质和正三角形的特点进行证明；
（2）△BEF为正三角形，可解用（1）全等的结论证明；
（3）作出恰当的辅助线，构成直角三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算．

解答：（1）证明：∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，
∴△ABD和△BCD都为正三角形，
∴∠BDE=∠BCF=60°，BD=BC，
∵AE+DE=AD=2，而AE+CF=2，
∴DE=CF，
∴△BDE≌△BCF；

（2）解：△BEF为正三角形．
理由：∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE=∠CBF，BE=BF，
∵∠DBC=∠DBF+∠CBF=60°，
∴∠DBF+∠DBE=60°即∠EBF=60°，
∴△BEF为正三角形；

（3）解：设BE=BF=EF=x，
则S=

1

2

•x•x•sin60°=

3

4

x²，
当BE⊥AD时，x最小=2×sin60°=

3

，
∴S_最小=

3

4

×(

3

)2=

3 3

4

，
当BE与AB重合时，x最大=2，
∴S_最大=

3

4

×2²=

3

，
∴

3 3

4

≤s≤

3

．

点评：本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合运用．