Question

（2006•上海模拟）已知：二次函数y=-（x-h）²+k图象的顶点P在x轴上，且它的图象经过点A（3，-1），与y轴相交于点B，一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A，并与y轴的正半轴相交．
求：（1）k的值；
（2）这个一次函数的解析式；
（3）∠PBA的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数y=-（x-h）²+k图象的顶点P在x轴上即可求出k的值；
（2）首先根据二次函数y=-（x-h）²的图象经过点A（3，-1），求出P点的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；
（3）点P的坐标为（2，0），点A的坐标为（3，-1），点B的坐标为（0，-4），求出BP、AP、AB的长度，利用勾股定理逆定理证明∠BAP=90°，进而求出∠PBA的正弦值．

解答：解：（1）∵二次函数y=-（x-h）²+k图象的顶点P在x轴上，
∴k=0． 

（2）∵二次函数y=-（x-h）²的图象经过点A（3，-1），
∴-1=-（3-h）²．
∴h₁=2，h₂=4．
∴点P的坐标为（2，0）或（4，0）．  
（i）当点P的坐标为（2，0）时，
∵一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A，
∴

0=2a+b  -1=3a+b

解得

a=-1  b=2

，
（ii）当点P的坐标为（4，0）时，
∵一次函数y=ax+b的图象经过点P和点A，
∴

0=4a+b  -1=3a+b

解得

a=1  b=-4

，
∵一次函数的图象与y轴的正半轴相交，
∴

a=1  b=-4

不符合题意，舍去． 
∴所求的一次函数解析式为y=-x+2． 

（3）∵点P的坐标为（2，0），点A的坐标为（3，-1），点B的坐标为（0，-4），
∴BP=2

5

，AB=3

2

，AP=

2

． 
∴AB2+AP2=(3

2

)2+(

2

)2=20，BP²=20．
∴AB²+AP²=BP²．
∴∠BAP=90°． 
∴sin∠PBA=

2

2 5

=

10

10

．

点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键掌握二次函数的性质，待定系数求解析式和勾股定理逆定理的应用，此题难度不是很大，是一道不错的习题．