Question

（2012•永春县质检）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，菱形ABCD在直线上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作．

（1）对角线AC=

2

；
（2）经过27次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为（结果保留π）

（6

3

+3）π

．

Answer 1

分析：（1）根据菱形四边相等的性质可得出△ABC是等边三角形，继而可得出AC的长度；
（2）从图中可以看出，第一次旋转是以点B为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OB，解直角三角形可求出OB的长，圆心角是60°，第二次还是以点B为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OB，圆心角是60°，第三次就是以点C为旋转中心，OC为半径，旋转的圆心角为60°，旋转到此菱形就又回到了原图，故这样旋转27次，就是这样的9个弧长的总长．

解答：解：（1）∵菱形ABCD中，AB=2，∠D=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2．
故答案为：2；

（2）∵菱形ABCD中，AB=2，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=OC=1，
∴OB=

AB2-OA2

=

3

，

第一次旋转的弧长为：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第二次旋转的弧长为：

60π× 3

180

=

3

3

π；
第三次旋转的弧长为：

60π×1

180

=

π

3

，
故可得旋转27次菱形中心O所经过的路径总长=9（

3

3

π+

3

3

π+

π

3

）=（6

3

+3）π．
故答案为：（6

3

+3）π．

点评：本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．