Question

【题目】如图，菱形 ABCD 中，∠ABC＝60°，有一度数为 60°的∠MAN 绕点 A 旋转．

（1）如图①，若∠MAN 的两边 AM、AN 分别交 BC、CD 于点 E、F，则线段 CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论．

（2）如图②，若∠MAN 的两边 AM、AN 分别交 BC、CD 的延长线于点 E、F，则线段CE、DF 还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）CE=DF，证明见解析；（2）仍然有CE=DF，理由见解析.

【解析】

（1）CE=DF；连接AC，易得△ABC、△ACD为正三角形，再根据等边三角形的性质，利用ASA可判定△AEC≌△AFD，即得CE=DF；

（2）结论CE=DF仍然成立，同（1）类似证明△ACE≌△ADF，即得结论．

解：（1））CE=DF；

证明：如图③，连接AC，

在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD为正三角形．

∵AC=AD，∠ACE=∠ADF=60°，∠CAE=∠DAF=60°－∠CAF，

∴△AEC≌△AFD（ASA）．

∴CE=DF．

（2）结论CE=DF仍然成立，如图④，连接AC，

在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，

∴△ABC、△ACD为正三角形．

∵AC=AD，∠ACB=∠ADC=60°，

∴∠ACE=∠ADF=120°．

∵∠CAE=∠DAF=60°－∠DAE，

∴△ACE≌△ADF（ASA）．

∴CE=DF．