Question

【题目】如图，抛物线（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线与y轴交于点D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）证明：△DBO∽△EBC；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，）或P（1，）．

【解析】

试题分析：（1）先求出点C的坐标，在由BO=OC=3AO，确定出点B，A的坐标，最后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先求出点A，B，C，D，E的坐标，从而求出BC，BE，CE，OD，OB，BD，求出比值，得到得出结论；

（3）设出点P的坐标，表示出PB，PC，求出BC，分三种情况计算即可．

试题解析：（1）∵抛物线，∴c=﹣3，∴C（0，﹣3），∴OC=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3，AO=1，∴B（3，0），A（﹣1，0），∵该抛物线与x轴交于A、B两点，∴，∴，∴抛物线解析式为；

（2）由（1）知，抛物线解析式为=，∴E（1，﹣4），∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），∴BC=，BE=，CE=，∵直线与y轴交于点D，∴D（0，1），∵B（3，0），∴OD=1，OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△BCE∽△BDO；

（3）存在，理由：设P（1，m），∵B（3，0），C（0，﹣3），∴BC=，PB=，PC=，∵△PBC是等腰三角形，∴分三种情况讨论：

①当PB=PC时，∴=，∴m=﹣1，∴P（1，﹣1）；

②当PB=BC时，∴=，∴m=，∴P（1，）或P（1，﹣）；

③当PC=BC时，∴=，∴m=，∴P（1，）或P（1，）；

综上所述：符合条件的P点坐标为P（1，﹣1）或P（1，）或P（1，﹣）或P（1，）或P（1，）．