题目内容

已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H，G是 $数学公式$ 上一点，且 $数学公式$ ，连接AG交PD于F，连接BF，若PD= $数学公式$ ，tan∠BFE= $数学公式$ ．
求：（1）∠C的度数；
（2）QH的长．

解：（1）连接OP，则∠OPC=90°
∵ $\text{[math]}$
∴∠BAF=30°
设EF=x，则AE= $\text{[math]}$ x
∵tan∠BFE= $\text{[math]}$
∴BE=3 $\text{[math]}$ x
∴cos∠POA=OE：OP= $\text{[math]}$
∴∠POA=60°
∵CP是切线
∴∠OPC=90°
∴∠C=30°；

（2）∵PD⊥AB，PD= $\text{[math]}$ ，
∴PE=3 $\text{[math]}$ ，
∴CP=6 $\text{[math]}$ ，OP=6，
那么AB=2OP=12，
∵PC²=AC×BC，
∴AC=6，
∴BC=18，
∴QB=9，CQ=9 $\text{[math]}$ ，
∴PQ=3 $\text{[math]}$ ，
∵PQ²=QH×QB，
∴QH=3．
分析：（1）连接OP，易得∠BAG=30°，应利用30°的正切值，以及tan∠BFE的值得到用一条线段表示出的AE，EF，EB以及OE，OP等．那么就能表示出∠POA的余弦值，即可求得相应的度数，进而求解；
（2）易得PE=3 $\text{[math]}$ ，那么利用特殊的三角函数值即可求得CP，OP，利用切割线定理可求得CA长．进而求得PQ，QB长．利用切割线定理可求得QH长．
点评：本题用到的知识点为：利用三角函数值来判断角的度数；垂直于弦的直径平分弦；切割线定理等．考查学生综合运用知识能力．