Question

已知：抛物线y=x²-（2m+4）x+m²-10与x轴交于A、B两点，C是抛物线的顶点．
（1）用配方法求顶点C的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）“若AB的长为2

2

，求抛物线的解析式．”解法的部分步骤如下，补全解题过程，并简述步骤①的解题依据，步骤②的解题方法；
由（1）知，对称轴与x轴交于点D（______，0）
∵抛物线的对称性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=2

2

．
∵点A（x_A，0）在抛物线y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，将|xA-xD|=

2

代入上式，得到关于m的方程0=(

2

)2+(      )②
（3）将（2）中的条件“AB的长为2

2

”改为“△ABC为等边三角形”，用类似的方法求出此抛物线的解析式．

Answer 1

（1）∵y=x²-（2m+4）x+m²-10
=[x-（m+2）]²-4m-14，
∴顶点C的坐标为（m+2，-4m-14）．

（2）由（1）知，对称轴与x轴交于点D（m+2，0），
∵抛物线的对称性及AB=2

2

，
∴AD=DB=|xA-xD|=

2

．
∵点A（x_A，0）在抛物线y=（x-h）²+k上，
∴0=（x_A-h）²+k①
∵h=x_C=x_D，将|xA-xD|=

2

代入上式，
得到关于m的方程0=（

2

）²+（-4m-14）②
解得m=-3，
当m=-3时，抛物线y=x²+2x-1与x轴有交点，
且AB=2

2

，符合题意．
所求抛物线的解析式为y=x²+2x-1．
步骤①的解题依据：抛物线上一点的坐标满足此函数解析式；
步骤②的解题方法：代入法

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴由（1）知CD=|-4m-14|=4m+14（-4m-14＜0），
AD=DB=

1

3

CD=

1

3

（4m+14）（-4m-14＜0），
∵点A（x_A，0）在抛物线上，
∴0=（x_A-h）²+k．
∵h=x_C=x_D，将|x_A-x_D|=

1

3

（4m+14）代入上式，
得0=

1

3

（4m+14）²-4m-14，
∵-4m-14＜0，
∴

1

3

（4m+14）-1=0，
解得m=-

11

4

，
当m=-

11

4

时，抛物线y=x²+

3

2

x-

39

16

与x轴有交点，且符合题意．
所求抛物线的解析式为y=x²+

3

2

x-

39

16

．