Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点A，对点A作如下变换：

第一步：作点A关于x轴的对称点A1；第二步：以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2，且相似比=q，则称A2是点A的对称位似点．

(1)若A(2，3)，q=2，直接写出点A的对称位似点的坐标；

(2)已知直线l：y=kx-2，抛物线C：y=-x2+mx-2(m＞0)．点N(，2k-2)在直线l上．

①当k=时，判断E(1，-1)是否是点N的对称位似点，请说明理由；

②若直线l与抛物线C交于点M(x1，y1)(x1≠0)，且点M不是抛物线的顶点，则点M的对称位似点是否可能仍在抛物线C上？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）、;（2）①E(1，-1)不是N(2,-1)的对称位似点;②.理由见解析.

【解析】

（1）由对称位似点的定义可求出点A的对称位似点的坐标；

（2）①先求出N点坐标为（2，1），关于x轴的对称点坐标为（2，1），由E（1，1），

，故不存在q，使得E（1，1）是点N的对称位似点，可知E（1，1）不是点N的对称位似点；

②把N点坐标代入y＝kx2，可得m＝2k或m＝k，当直线与二次函数图象相交时求得M（4k，4k22），关于轴的对称点，求出直线的解析式，联立方程组，当△≥0时，求得时，点M的对称位似点仍在抛物线C上．

解：（1）∵A（2，3），

∴A关于x轴的对称点A1为（2，3）），

∵以O为位似中心，作线段OA1的位似图形OA2，且相似比为2，

∴A2的坐标为（4，6）或（-4，6），

∴A的对称位似点的坐标为（4，6）或（4，6）．

、

（2）①当时，，将代入得：

的坐标为，其关于轴的对称点坐标是

对于，

，所构成的直角边不成比例，

不是的对称位似点

②直线：过点

，整理得：

或

直线与抛物线相交于点:

,,

抛物线对称轴：，且点不是抛物线的顶点

，

只有成立. 此时， 的坐标：

于是，关于轴的对称点，

直线的解析式:

若直线与抛物线有相交，

整理得：

当，时，交点存在，不妨设为，，

则是点的对称位似点

,且,

,

.