Question

【题目】如图，中，，则____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如下图，先推导出∠DFB=60°，并得出△ECD∽△FBD，设FG=a，则利用相似，可得出FB的大小，从而得出GB的长，然后再Rt△DGB中，得出DB的长，从而得出CB的长，最后在Rt△CHB中，利用勾股定理求出a的值，进而得出AF的长．

如下图，过点D、C作AB的垂线，分别交AB于点G、H

∵BD=BC=AC，∴∠CDB=∠DCB

∵∠ACB+∠CBD=120°，∠CDB+∠DCB+∠CBD=180°

∴∠ACF+∠DCB+∠CBD=120°

∴∠CDB=∠ACF+60°

设∠ACF=x，则∠DCB=∠CDB=x+60

∴∠CAB=∠CBA=60-x，∠CBE=60-2x，∠EBA=x

∴∠CFB=∠ACF+∠CAF=60°

∵∠ECD=∠DBF=x，∠CDE=∠BDF

∴△ECD∽△FBD

设FG=a

则在Rt△FGD中，FD=2a，DG=

∵△ECD∽△FBD，CE=3，ED=1

∴

解得：FB=6a

∴GB=5a

∴在Rt△DBG中，DB=2a=BC

∵

∴CD=2

∴在Rt△CFH中，FH=，CH=

∴GH=，HB=5a-

∵AC=BC

∴AH=BH=5a-

∴AF=AH-FG-GH=5a-=4a-2

在Rt△CHB中，，即

解得；a=

∴AF=4a-2=4

故答案为：2．