题目内容
（满分13分）如图11，在平面直角坐标系中，直线
与
轴、
轴分别交于点B、C ；抛物线
经过B、C两点，并与轴交于另一点A．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）设
是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直线
轴于点M，交直线BC于点N ．
① 若点P在第一象限内．试问：线段PN的长度是否存在最大值 ？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说明理由；
② 求以BC为底边的等腰△BPC的面积．
（1）
（2）①
② 
【解析】（1）由于直线
经过B、C两点,令y=0得
=3；令=0，得y=3
∴B（3，0），C（0，3） ……1分
∵点B、C在抛物线
上，于是得
……2分
解得b=2，c=3 ……3分
∴所求函数关系式为 ……4分
（2）①∵点P（,y）在抛物线上，且PN⊥x轴，
∴设点P的坐标为（, 
） ……5分
同理可设点N的坐标为（，
） ……6分
又点P在第一象限，
∴PN=PM-NM
=（）-（）
=
=
……7分
∴当
时，
线段PN的长度的最大值为．
……8分
②解法一：
由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，又由①知，OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上,于是有
∴
…9分
解得
……10分
∴点P的坐标为：
或 
…11分
若点P的坐标为
，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，
，OB=OC=3
若点P的坐标为
， 此时点P在第三象限，
则
……13分
解法二：由题意知，点P在线段BC的垂直平分线上，
又由①知，OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线，
∴设点P的坐标为
又点P在抛物线上，于是有
∴ ……9分
解得
……10分
∴点P的坐标为:
或 …11分
若点P的坐标为
，此时点P在第一象限，在Rt△OMP和Rt△BOC中，
，OB=OC=3
若点P的坐标为 ， 此时点P在第三象限，（与解法一相同）……13分
当点P在第一象限时，△BPC面积其它解法有：
①
，BC=
②
（本答案仅供参考）
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时，求正方形的边长.
