Question

如图，在△ABC中，cm，cm，cm，动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达C时运动停止，过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为秒（）

（1）直接写出用含的代数式表示线段BE、EF的长;

（2）在这个动动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出的值;若不能，请说明理由;

（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积。

 

Answer 1

【答案】

（1）， .（2）、或（3）

【解析】解：（1），···················· 1分

.···························· 4分

（2）分三种情况讨论：

 ①当时，

有

∴点与点重合，

∴ ············ 5分

②当时,

∴,

解得： ········· 7分

③当时,

有

∴△DEF∽△ABC.

∴, 即,

解得：.  ········ 9分

综上所述，当、或秒时，△为等腰三角形．

（3）设P是AC的中点，连接BP，

∵∥

∴△∽△.

∴  ∴

又 ∴△∽△

∴··························· 10分

∴点沿直线BP运动，MN也随之平移.

如图，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形.

∵、分别是、的中点，∴∥DE，且ST=MN=

分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，

当t=0时，EF=（0+4）=TK=EF···

当t=12时，EF=AC=10，PL=AC··10·

∴PR=PL-RL=PL-TK=3-

∴·PR=2×

∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm².    13分

（1）由题意得，利用相似比求出EF的长

（2）分三种情况讨论：①当时，②当时, ③当时

（3）设P是AC的中点，连接BP，通过相似证得，、分别是、的中点，求得ST=2 ，分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，利用三角函数求得PL、TK的值，得出PR的值，从而得出结论