Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=2，OC=1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
（1）直接写出点E的坐标： ．
（2）求证：AG=CH．
（3）如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
（4）在（3）的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

【答案】
（1）（1， ）
（2）解：证明：∵矩形OABC，

∴CE=AE，BC∥OA，

∴∠HCE=∠EAG，

∵在△CHE和△AGE中

，

∴△CHE≌△AGE，

∴AG=CH

（3）解：解：如图2，连接DE并延长DE交CB于M，连接AC，

∵DO=OC=1= OA，

∴D是OA的中点，

∵BC∥OA，

∴∠MCE=∠DAE，

∵在△CME和△ADE中

，

∴△CME≌△ADE，

∴CM=AD=2﹣1=1，

∵四边形OABC是矩形，

∴∠MCO=∠COD=90°，CB∥OA，

∵OD=1，OA=2，

∴OD=AD，

∵矩形OABC的对角线交于E，

∴E为中心，

∴DE∥OC，

∴四边形CMDO是矩形，

∴MD⊥OD，MD⊥CB，

∴MD切⊙O于D，

∵HG切⊙O于F，E（1， ），

∴可设CH=HF=x，FE=ED= MD，

在Rt△MHE中，有MH2+ME2=HE2，

即（1﹣x）2+（ ）2=（ +x）2，

解得x= ，

∴H（ ，1），OG=2﹣ = ，

∴G（ ，0），

设直线GH的解析式是：y=kx+b，

把G、H的坐标代入得： k+b=0，且1= k+b，

解得：k=﹣ ，b= ，

∴直线GH的函数关系式为y=﹣ x+

（4）解：解：如备用图3，连接BG，过P做PN⊥GA，垂足为N，

∵在△OCH和△BAG中

，

∴△OCH≌△BAG，

∴∠CHO=∠AGB，

∵∠HCO=90°，

∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F，

∴OH平分∠CHF，

∴∠CHO=∠FHO=∠BGA，

∵四边形OCBA是矩形，

∴BC∥OA，BC=OA，

∵CH=AG（已证），

∴BH=OG，BH∥OG，

∴四边形BHOG是平行四边形，

∴OH∥BG，

∴∠OHE=∠BGE，

∵∠CHO=∠FHO=∠BGA

∴∠BGA=∠BGE，

即BG平分∠FGA，

∵⊙P与HG、GA、AB都相切，

∴和∠HGA的两边都相切的圆的圆心在∠HGA的角平分线上，即在GB上

∴圆心P必在BG上，

∴△GPN∽△GBA，

∴ ，

设半径为r，

= ，

解得：r= ．

答：⊙P的半径是

【解析】（1）解：E的坐标是：（1， ）， 所以答案是：（1， ）；
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．