Question

如图，抛物线y=ax²+k（a≠0）的顶点为A，点B坐标为（0，2k），点P为抛物线上任意一点，作PC⊥x于点C，连接PB．
（1）当k=1，且PC=PB时，求a的值；
（2）当k=-1，且PC=PB时，求a的值；
（3）猜想当a与k满足怎样的关系时，PC与PB的长相等？并说明理由．

Answer 1

分析：此题的三个小题解法是一致的，可先设出点P的坐标（设横坐标，根据抛物线解析式表示纵坐标），根据坐标系两点间距离公式求得PB²的值，而PC²的长易得，根据PC=BP这个等量关系，可列方程求出a、k的关系式或a的值．

解答：解：设点P（x，ax²+k），则：
PC²=（ax²+k）²=a²x⁴+2akx²+k²，PB²=x²+（ax²+k-2k）²=a²x⁴+（1-2ak）x²+k²；
当PC=PB时，a²x⁴+2akx²+k²=a²x⁴+（1-2ak）x²+k²，
即（4ak-1）x²=0，即ak=

1

4

；
故（1）当k=1，且PC=PB时，a=

1

4

；

（2）当k=-1，且PC=PB时，a=-

1

4

；

（3）当a、k满足ak=

1

4

时，PC、PB的长相等．

点评：此题并不难，只要利用平面直角坐标系两点间的距离公式求得PB的距离，并能根据题意列出方程，正确的解方程即可顺利得出结论．