Question

2．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB上的点，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠1=∠2；②∠3=∠4；③BE=CD．
（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形；（用序号写出所有情形）
（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根据全等三角形的判定性质，可得OB与OC的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠OBC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根据AAS，可得OB与OC的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠OBC与∠OCB的关系，根据等腰三角形的判定，可得答案．

解答 解：（1）由①③和②③都可以判定△ABC是等腰三角形；
（2）选择①③，证明如下：
证明：在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴BO=CD（全等三角形的对应边相等），
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的两底角相等）．
∵∠1+∠OBC=∠2+∠OCB（等式的性质），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形．
选择②③时，证明如下：
证明：在△BOE和△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠3=∠4}\\{∠BOE=∠COD}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COD（AAS），
∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等），
∴BO=CD（全等三角形的对应边相等），
∴∠OBC=∠OCB（等腰三角形的两底角相等）．
∵∠1+∠OBC=∠2+∠OCB（等式的性质），
即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边），
即△ABC是等腰三角形．

点评 本题考查了等要三角形的判定，利用全等三角形的判定性质得出OB与OC的关系是解题关键，又利用了等腰三角形的性质与判定．