Question

已知：如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝45°，C是优弧AB上一点，BD∥OA，交CA延长线于点D，连结BC．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AC=，∠CAB＝75°，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图3.

∵ OA=OB，∠OAB=45°，

∴ ∠1=∠OAB=45°

∵ AO∥DB，

∴∠2 =∠OAB=45°.

∴ ∠1 +∠2=90°.

∴ BD⊥OB于B. 

∴ 又点B在⊙O上.

∴ CD是⊙O的切线.

（2）解：作OE⊥AC于点E.

∵OE⊥AC，AC=，

∴AE＝＝.

∵∠BAC=75°，∠OAB=45°，

∴∠3=∠BAC －∠OAB=30°.

∴ 在Rt△OAE中，. ····································· 5分

解法二：如图4，

延长AO与⊙O交于点F，连结FC.

∴ ∠ACF =90°.

在Rt△ACF中，.

∴AO＝＝4.