Question

如图，⊙O是边长为1的正方形ABCD的外接圆，P为弧AD上的不同于A、D的任意一点，则PA²+PB²+PC²+PD²的值为

1. A.
   2
2. B.
   4
3. C.
   6
4. D.
   8

Answer 1

B
分析：连接AC、BD，先由正方形的性质得出∠ADC=∠BCD=90°，再根据90°的圆周角所对的弦是直径得出AC与BD是直径，由直径所对的圆周角是直角得出∠APC=∠BPD=90°，然后根据勾股定理得出PA²+PC²=AC²，PB²+PD²=BD²，从而求出结果．
解答：解：连接AC、BD．
∵ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，
∴AC与BD是直径，
∴∠APC=∠BPD=90°，
∴PA²+PC²=AC²，PB²+PD²=BD²．
又∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC=BD=，
∴PA²+PB²+PC²+PD²=AC²+BD²=4．
故选B．
点评：本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，圆周角定理，综合性较强，难度中等．根据圆周角定理得出∠APC=∠BPD=90°是解题的关键．