Question

自然数n≥1，满足：2002×n是完全立方数，n÷2002是完全平方数．这样的n中的最小者是

2002⁵

Answer 1

分析：由2002=2×7×11×13，而2002×n是完全立方数，n÷2002是完全平方数，因此得到当n最小时，n除了2，7，11，13外，没有别的质因数，设n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整数），再根据题意得到a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍数；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍数，所以即可得到n最小时a，b，c，d的值，从而得到n中的最小者．

解答：解：∵2002=2×7×11×13，
而2002×n是完全立方数，n÷2002是完全平方数，
∴n最小时，n除了2，7，11，13外，没有别的质因数，设n=2^a×7^b×11^c×13^d，（a，b，c，d都是正整数），
∴a+1，b+1，c+1，d+1都是3的倍数；a-1，b-1，c-1，d-1都是2的倍数，
∴当a=b=c=d=5，n最小，
∴n中的最小者是2⁵×7⁵×11⁵×13⁵=2002⁵．
故答案为：2002⁵．

点评：本题考查了完全平方数和完全立方数的概念．也考查了对正整数进行因数分解的能力．