题目内容

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为M，与x轴的交点为A、B(点B在点A的右侧)，△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b．若关于x的一元二次方程(m－a)x2＋2bx＋(m＋a)＝0有两个相等的实数根．

(1)判断△ABM的形状，并说明理由．

(2)当顶点M的坐标为(－2，－1)时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形．

(3)若平行于x轴的直线与抛物线交于C、D两点，以CD为直径的圆恰好与x轴相切，求该圆的圆心坐标．

答案：
解析：

　　解：(1)令

　　得

　　由勾股定理的逆定理和抛物线的对称性知

　　△ABM是一个以a、b为直角边的等腰直角三角形

　　(2)设

　　∵△ABM是等腰直角三角形

　　∴斜边上的中线等于斜边的一半

　　又顶点M(－2，－1)

　　∴，即AB＝2

　　∴A(－3，0)，B(－1，0)

　　将B(－1，0)代入中得a＝1

　　∴抛物线的解析式为，即

　　图略

　　(3)设平行于x轴的直线为y＝k

　　解方程组


练习册系列答案
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如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，与x轴交于另一点B.

(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F

两点，过点P（－1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于

点B。抛物线y＝ax2＋bx＋c经过P、B、M三点。

1.（1）求该抛物线的函数表达式；（3分）

2.（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的

横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；（4分）

3.（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，

并说明理由。（3分）

 

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与直线y＝mx＋n相交于两点，这两点的坐标分别是（0,）和（m－b，m2－mb＋n），其中a，b，c，m，n为实数,且a，m不为0．

（1）求c的值；

（2）设抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点是（x1，0）和（x2，0），求x1x2的值；

（3）当－1≤x≤1时，设抛物线y＝ax2＋bx＋c上与x轴距离最大的点为P（xo，yo ），求这时｜yo｜的最小值．

 

如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．

（1）求抛物线的解析式；（3分）
（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）
（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P坐标．（4分）

某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q =" W" + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

次数n

2

1

速度x

40

60

指数Q

420

100

（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；

（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；

（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是 

 

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