Question

在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BA向终点A运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形PQBC为平行四边形时？
（2）在整个运动过程中，当t为何值时，以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，求出PC=BQ就可得到答案．
（2）有两种情况，根据勾股定理逆定理可求出边长，进而求出时间．

解答：解：（1）当点P在AD边上时，PC与BQ不平行，
故此时四边形PQBC不可能为平行四边形；      
当点P在DC边上时，如图1．
PC=12-2t，BQ=t，
∵四边形PQBC为平行四边形，
∴PC=BQ．
∴12-2t=t，t=4．
∴当t=4时，四边形PQBC为平行四边形．

（2）作高DE、CF，易求高DE=CF=4，
当t＜

5

2

时，点P在AD上，只有当CP垂直于CQ时以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形
这时CQ²=4²+（3-t）²=t²-6t+25，
PQ²=（

2t

5

×4）²+（13-t-

2t

5

×3）²=

185t2

25

-

286t

5

+169，
CP²=（4-

2t

5

×4）²+（13-3-

2t

5

×3）²=4t²-

184t

5

+116，
由CP²+CQ²=PQ²得4t²-

184t

5

+116+t²-6t+25=

185t2

25

-

286t

5

+169无解
当t≥

5

2

时，点P在DC上，显然点Q运动到点F处（此时t=3）
当PQ垂直于AB时，
此时5+7-2t=t-3，
解得：t=5
当PQ垂直于CQ时以点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形（此时无解）
综上可知，当t=3秒或5秒时点C、P、Q为顶点的三角形是直角三角形．

点评：本题考查等腰梯形的性质，平行四边形的判定和直角三角形的性质，熟记这些性质和判定进行求解．