Question

（2013•宝山区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，E、F分别是AC，BC边上一点，且CE=

1

4

AC，BF=

1

4

BC，
（1）求证：

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）求∠EDF的度数．

Answer 1

分析：（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；
（2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF，由于∠BDF和∠CDF互余，则∠EDC和∠CDF也互余，由此可求得∠EDF的度数．

解答：（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ADC∽△CDB，
∴

AC

CB

=

CD

DB

；

  （2）解：∵CE=

1

4

AC，BF=

1

4

BC，
∴

CE

BF

=

1 4 AC

1 4 BC

=

AC

CB

=

CD

DB

，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠ACD=∠B，
∴△CED∽△BFD，
∴∠CDE=∠BDF，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠BDF+∠CDF=∠CDB=90°．

点评：此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．