Question

如图所示，在△ABC中，∠A=α，两外角平分线交于P点，∠P=β，则α、β之间的关系为

1. A.
   β=90°+α
2. B.
   β=α
3. C.
   β=90°-α
4. D.
   α=90°-β

Answer 1

C
分析：先根据BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠PBC=∠EBC，∠BCP=∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，故∠PBC+∠BCP=（∠EBC+∠BCP）=（180°+∠A）=90°+∠A，根据在△PBC中∠BPC=180°-（∠PBC+∠BCP）即可得出结论．
解答：解：∵BP、CP分别是∠CBE、∠BCF的平分线
∴∠PBC=∠EBC，∠BCP=∠BCF，
∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角
∴∠CBE+∠BCF=360°-（180°-∠A）=180°+∠A
∴∠PBC+∠BCP=（∠EBC+∠BCP）=（180°+∠A）=90°+∠A，
在△PBC中∠BPC=180°-（∠PBC+∠BCP）=180°-（90°+∠A）=90°-∠α．
即β=90°-α．
故选C．
点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．